首先我们先来区分这三个单词各自的含义：

Activity 可以用泛指具有组织性、娱乐休闲性质的活动。

例句：

I don’t like outdoor activities.

我不喜欢户外活动。

We offer our guests a lot of sporting activities.

我们为客人提供非常多体育活动项目。

Activity 也可以用在某个团体或组织为了达成某目的所做的行动，通常会具有实际的活动。犯法、违法活动或是恐怖行动都是用这个字。

例句：

We suspect he may be involved in illegal activities.

我们怀疑他可能有参与违法行动。

另外，activity 也可以用来泛指某种特定性质的活动，象是商业活动、经济活动、人类活动等这种「广义上的活动」，是指一种状态上的活跃程度，不是指实际上的活动。

例句：

The experts indicated that economic activity sharply declined in this year.

专家指出今年的经济活动大幅下降。

Campaign 常用在商业、军事、政治上，指的是为了达到某种目标而发起的一系列有计划的活动（activities），简单来说，一个 campaign 是可以包含好几个 activities。常常会搭配动词 launch、start 一起使用，都是代表发起某种运动或是活动。

例句：

They decided to start an advertising campaign to promote the new product.

他们决定发起广告活动以推广新商品。

She won the election because of the successful campaigns.

她因为成功的政治活动，赢得了这场选举。

The government launched an media campaign against smoking.

政府发起了禁菸媒体活动。

The department is preparing for a Christmas sales campaign.

部门正在做圣诞节销售活动的准备。

Campaign 也可以当作动词使用，意思一样是「发起⋯⋯某种活动」。

Thousands of students are campaigning for law reform.

数千名的学生发起了法律改革活动。

另外，在选举中常常会有所谓的造谣活动，也可以使用这个字，英文为 whispering campaign。

Her political opponent ran a whispering campaign against her.

她的政治对手对她进行造谣活动。

Event 跟上面两个就有比较大的区别，指的是一次性或是偶发性的重要活动或事件，通常也会办得比较盛大。很常搭配形容词 great、important、main、major 使用。

FIFA World Cup is an international sporting event.

世足赛是全球性的运动盛事。

Apple decided to delay its annual fall event.

苹果决定延迟秋季的年度盛大活动。

总结：

简而言之，activity 可以用来指广义上的活动，代表这个状态、行为模式下的活跃程度，不一定是要真的有一个实际活动，campaign 和 event 则都会有实际上的活动，差别在于 campaign 会用在持续一段时间的连续性活动，event 通常就会是偶发性的盛大活动。